نیستند.
٣)خودتشابه آماری: ضعیفترین نوع خودتشابه است که در آن فراکتال اندازه های عددی یا آماری دارد کهدر سرتاسر مقیاسها حفظ م شوند. بیشتر تعاریف عوامانه متعارف فراکتال، بر ش ل از خودتشابه آماری دلالتدارند. فراکتالهای تصادف نمونهای از فراکتالهای هستند که به ش ل آماری خودمشابهاند اما خودمشابه کامل یاشبه خودمشابه نیستند.
سالها بعد، شاخه جدیدی از ریاضیات با عنوان تئوری توابع ت رار شونده توسط جان هاکینسون [۳] در سال١٩٨١ ارائه شد. در همان دهه، مای ل بارنزل [۴] ، ی محقق برجسته از جورجیا، کتاب معروف با عنوان »فراکتالهاهمه جا هستند«، نوشت. این کتاب، ریاض سیستمهای توابع ت رار شونده را ارائه م کند و نتیجهای را با عنوانتئوری اختلاط رن ها معرف م کند. تئوری اختلاط رن ها توضیح م دهد که ی سیستم ت رار توایع برای ارائه تصویر، چ ونه بایست عمل کند. این تئوری ام ان عجیب را ارائه م دهد. اگر در مسیر رو به جلو، ریاضفراکتال برای تولید تصاویر با ظاهر طبیع مناسب است پس در حرکت رو به عقب م توان از آن برای فشردهسازیتصاویر استفاده کرد. حال از منظر سیستمهای ت رار توابع به معرف فراکتالها م پردازیم.
(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))
( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )
تعریف ٠.٠.١. فرض کنید (X,d) ی فضای متری کامل و {F = {f1,f2,…,fk ی مجموعهی متناه ازن اشتهای پیوسته رویX باشد. نیمگروه تولید شده توسطF تحت عمل ترکیب توابع، که آنرا با نماد +>F <نمایش م دهیم، را در نظر ب یرید.{F >+= {h : X → X;h = fino…ofi1 ; ij ∈ {۱,۲,…,k}} ∪ {id : X → X <
سیستم ت رار توابع تولید شده توسطF که به اختصار با (IFS(X,F [۵] نمایش داده م شود، چیزی جز عمل نیمگروه
+>F < روی مجموعهX نم باشد.
هر سیستم تعریف شده بهصورت فوق، دارای جاذب م باشد. در صورت که ن اشتهای مولد سیستم، انقباضباشند، سیستم دارای ی جاذب منحصربفرد است که آنرا فراکتال م نامیم.
بارنزل در سال ٢٠٠٩ نشان داد که بین جاذبهای دو سیستم ت رار توابع م توان ارتباط ایجاد نمود. آنچه دراین پایان نامه بررس م گردد نحوه ایجاد ارتباط خاص یعن همیومورفیسم فراکتال ، بین جاذبهای دو سیستمت رار توابع با تعداد توابع مولد مشابه م باشد. این پایان نامه بر مبنای ی از مقالات بارنزل و وینس [۶] [۶] نوشتهشده است که در آن از توابع دوآفین جهت تش یل سیستم استفاده م گردد.
٣تعریف ٠.٠.٢. ن اشت ۲f : R2 → R را که بهصورت زیر تعریف م کنیم، ی ن اشت دوآفین نامیده م شود.(١)f(x,y) = a + bx + cy + dxy,
که در آنa,b,c,d ، بردارهای در ۲R هستند.
بهعبارت دی ر توابع دوآفین، توابع مانند ۲f : R2 → R هستند با این ویژگ ها که، به ازایx یاy ثابت، درسایر متغیرهای موجود مانند توابع آفین رفتار م کنند.
{ ff((1(x,(1− α−)αx1)y+1 +αxαy2,y2) = (1) = (1−−αα))ff((x,yx1,y1) +) +αfαf((x,yx2,y2))., (٢)
.x1,x2,y1,y2,α ∈ R برای هر
از نظر هندس ، تساویهای فوق بدین معنا هستند که
خطوط افق و عمودی، توسط ن اشتهای دوآفین، به ی خط ن اشته م شوند.
ویژگ های موجود در خطوط افق و عمودی، حین انتقال، حفظ م شوند.
ردهی توابع دوآفین از ۲R به ۲R به مراتب، بزرگتر از تبدیلهای آفین و کوچ تر از تبدیلهای درجهی دوم است.ردهی توابع دوآفین تحت عمل ترکیب بسته نم باشد ول ترکیب ی تابع دوآفین با ی تابع آفین، ی تابع دوآفینم باشد.
این رده اصل از توابع با اتصال به نتایج هندسه کلاسی ، برانچن [۷] و لمبرت [۸] که قبل از قرن هیجدهم میلادیبهوجود آمدهاند، کاربردهای زیادی برای آنچه که در این پایان نامه شرح داده م شود خواهند داشت. ان یزه اصلما برای استفاده از توابع دوآفین بهخاطر بازنمای و تبدیلهای فراکتال است. همانطور که بیان گردید ی روشاستاندارد برای ساختن فراکتال، خودتشابه دقیق است که به وسیله سیستمهای ت رار توابع قابلیت پیادهسازی دارد.جاذب این سیستمها، معمولا ی فراکتال است. بارنزل در [٨] و [٧] روش برای تبدیل کردن جاذب یSFI به جاذبIFS دی ر مطرح کرده است. این روش، برای تصویرسازی دیجیتال تصویرهای مخدوش، صاف کردنآنها، فشرده سازی، سایهدار کردن و افزودن جلوههای ویژه کاربرد دارد. ش ل زیر که جزئیات بیشتر در مورد آن دربخش ٣.۴ توضیح داده شده است، بهوسیلهی کاربرد چنین تبدیلهای ، که همیومورفیسم فراکتال نامیده م شوند،بهدست آمده است.
ش ل ١: کاربرد دو همیومورفیسم فراکتال برای ایجاد تصویر اصل .
۴
برای ایجاد ی همیومورفیسم فراکتال ، سیستم ت رار توابع که ن اشتهای آن خصوصیات هندس خوبداشته باشند و خیل هم پیچیده نباشند، مناسب است. تبدیلهای خط بهخاطر این خاصیت که خطوط را به خطوطم رسانند، برای ساختن سیستمهای ت رار توابع مناسبند. از طرف تبدیلهای آفین و دوآفین نیز خیل پیچیدهتر ازتبدیلهای خط نیستند و محدودیت برای اینکه مبدأ را به مبدأ برسانند، ندارند.
این پایان نامه بهصورت زیر سازمانده شده است:
در فصل اول به بیان مفاهیم پایهای مربوط به سیستمهای دینامی زمانگسسته م پردازیم. آشنای با ساختاراین سیستمها و تعاریف و قضایای پیرامون آنها، در فهم مطالب فصول بعدی کم بهسزای م کند.
در فصل دوم، به معرف سیستمهای دینامی زمانپیوسته م پردازیم. هدف اصل ما در این فصل، تعیین نقاطثابت ی دست اه معادلات دیفرانسیل و آشنای با نحوه محاسبه نقاط جاذب و دافع آن است.
در فصل سوم با ساختار تش یل سیستمهای ت رار توابع آشنا م شویم. در این فصل، ابتدا با توابع انقباض وتعاریف و قضایای پیرامون آنها آشنا م شویم. سپس با بهره گرفتن از این توابع نسبت به ایجاد ی سیستم ت رار توابعانقباض اقدام م کنیم. با اثبات قضیه ٩.٢.٣، نشان م دهیم که هر سیستم ت رار توابع انقباض دارای ی جاذبکمین درون ناته منحصربفرد است که این جاذب عموماًً فراکتال نامیده م شود. در ادامه فصل را با ذکر مثال ازنحوه تش یل ی سیستم با دومولد به پایان م بریم.
موضوع اصل این پژوهش که براساس مقاله [۶] از بارنزل و وینس، تنظیم گردیده است، از فصل چهارم شروعم شود. ابتدا به معرف توابع دوآفین و بیان هندسه این توابع م پردازیم. قضیهی ١٠.١.۴ به بیان ویژگ های اساسی تابع دوآفین م پردازد. همچنین ویژگ های خط تاشده و سهم تاشده نیز در این قضیه بیان م گردد.
قضیهی ١٢.١.۴ ی ساختار هندس برای پیدا کردن تصویر ی نقطه تحت ی ن اشت دوآفین را به ما م دهد.بخش ٢.۴ زمینهی لازم برای تعریف سیستم ت رار توابع دوآفین و مجذوب کنندههای آنرا فراهم م کند. قضیهی
۵.٢.۴ شرایط کل نسبتاًً خوب به ما م دهد که تحت این شرایط، ی ن اشت دوآفین، انقباض است.
ایجاد همیومورفیسم فراکتال بین جاذبهای دوIFS موضوع بخش آخر این پژوهش است. ساختار یهمویومورفیسم فراکتال با یافتن بخشهای پایای انتقال مربوط به ن اشتهای کدگذار دو،IFS ارتباط مستقیمدارد. قضیهی ۵١.٣.۴ نشان م دهد که هر بخش پایای انتقال وابسته به ی ماس است.
قضیهی ١٧.٣.۴، نشان م دهد که چ ونه ی همیومورفیسم فراکتال بین جاذبهای دو سیستم ت رار توابع رام توانیم از بخشهای مربوطه بهدست آوریم.
فصل ١
خلاصه مباحث از سیستمهای دینامی
١ . ١ بررس مجموعه های حدی و پایا
٢ . ١ سیستمهای کمین
٣ . ١ دینامی نمادین
۶
سیستم دینامی ، توصیف مدل ریاض ی مسأله فیزی م باشد. از آنجاکه عنوان سیستمهای دینامی بهسیستمهای داده م شود که در گذر زمان دستخوش تحول م شوند، لذا ی سیستم دینامی را م توان توسط سهپارامتر زمان، حالتها و قاعده های که بیان ر نحوه تحول این سیستمهاست، ش ل داد. برای درک سیستم دینامیبایست بر شرایط اولیه حاکم بر آن و شرایط مرزی سیستم احاطه داشت. سیستمهای دینامی را با توجه به رابطهایکه میان پارامترهای آنها وجود دارد، به دو گروه تقسیم م نمایند.
سیستمهای دینامی خط ،
سیستمهای دینامی غیرخط .
سیستمهای دینامی خط را م توان به دو طریق مورد مطالعه قرار داد: در صورت که تحول در سیستمبهصورت پیوسته باشد از معادله دیفرانسیل برای توصیف سیستم استفاده م شود. اما اگر سیستم بهصورت گسستهتحول یابد، در اینصورت سیستم در قالب ن اشتهای ت رار (مانند ن اشت لجستی ) مطالعه م گردد. در اینبخش به معرف سیستمهای دینامی زمان گسسته و ویژگ های آنها م پردازیم که نقش اساس در فهم مطالبفصول بعدی این پایان نامه دارند. برای این منظور از [١] و [٣] بهره م گیریم.
١.١ بررس مجموعه های حدی و پایا
مطالعه و بررس رفتار مدار ی نقطه در ب نهایت، که مثال از ی مجموعه پایا م باشد، در سیستمهای دینامیبسیار حائز اهمیت است. به همین علت ابتدا به بررس بعض از مجموعه های حدی و دینامی آنها م پردازیم.
تعریف ١.١.١. ی سیستم دینامی را با (X,f) نمایش م دهیم که در آنX ی فضای توپولوژی (فضایمتری ) وf : X → X ی تابع پیوسته رویX م باشد. برای هر ن اشت پیوستهf ازX بهf0 ،X را ن اشتهمان ازX در نظر م گیریم و همچنین.n ∈ N ; fn+1 = fofn∀
تعریف ١.١.٢. اگر (X,f) ی سیستم دینامی باشد، آن اه برای هرx ∈ X ، مدار پیشروx را با نماد (O+(x,fنمایش م دهیم و بهصورت زیر تعریف م کنیم
.
اکنون فرض کنیدf : X → X ی ن اشت پیوسته و مع وسپذیر باشد دراینصورت برای هرx ∈ X ، مدار
پسرو را با نماد (O−(x,f نمایش م دهیم که بهصورت زیر تعریف م شود
O−(x,f) = {f−n(x) : n ∈ N ∪ {۰}},
که در آن ۱+f−n = f−۱of−n. همچنین مدار نقطهیx ∈ X ، را بهصورت زیر تعریف م کنیم
O(x) = {fn(x) : n ∈ Z}.
تعریف ١.١.٣. نقطهیx ∈ X را ی نقطه تناوب از ن اشتf : X → X گوییم هرگاه عدد مثبتn موجود باشد
|
[دوشنبه 1400-09-29] [ 06:19:00 ب.ظ ]
|
